第 1 章 集合与逻辑（全保真教材版）

1.1 集合及其表示法

一、 集合的概念

我们把能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合（Set），简称集。集合中的各个对象叫做这个集合的元素（Element）。

关键特性：

1. 确定性：给定的集合，任何一个对象“在”或“不在”是确定的。
2. 互异性：集合中的元素各不相同。
3. 无序性：元素之间没有先后顺序。

关系记法：

• （ 属于 ）
• （ 不属于 ）

二、 常用数集记法

• 自然数集： （含0）；正整数集： 或
• 整数集： ； 有理数集： ； 实数集：

三、 集合的表示法

1. 列举法：如
2. 描述法：

例题 1：用列举法表示方程 的根集。 解：由于方程有两个相等的实数根 ，根据互异性，该集合为 。

四、 区间表示法

• 闭区间：
• 开区间：
• 特别注意： 表示实数集 ，无穷大符号旁永远用小括号。

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1.2 集合之间的关系

一、 子集与真子集

• 子集：若 中任意元素均在 中，记作 。
• 真子集：若 且 ，记作 。
• 空集 ()：不含任何元素的集合。规定： 是任何集合的子集。

例题 2：判断 与 的关系。 分析：由于 都在后者中，且 不在前项，故 。

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1.3 集合的运算

一、 交集、并集、补集

• 交集 ()：
• 并集 ()：
• 补集 ()：全集 中不属于 的元素。

容斥原理：

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1.4 充分条件与必要条件

• 若 （ 成立则 必成立），则：
  • 是 的充分条件。
  • 是 的必要条件。
• 若 ，则 互为充要条件。

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1.5 逻辑联结词与量词

一、 且、或、非

1. (且)：两者皆真才为真。
2. (或)：一者为真即为真。
3. (非)：真假对立。

二、 量词与否定

• 全称命题：。否定为：。
• 特称命题：。否定为：。

三、 反证法

步骤：

1. 假设结论不成立。
2. 逻辑推导得出矛盾（与已知、定理或自相矛盾）。
3. 判定假设不成立，原命题成立。