1.1 集合的概念与表示

核心讲义

• 集合的定义：一些确定的、相互区别的对象构成的整体。
• 集合三要素：
  • 确定性：集合中的元素必须是确定的。
  • 互异性：集合中的元素必须互不相同。
  • 无序性：集合中的元素没有先后顺序。
• 常用数集符号：
  • ：自然数集（包含 0）
  • 或 ：正整数集（不含 0）
  • ：整数集
  • ：有理数集
  • ：实数集

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精选母题

例 1

题目

已知集合 ，，求 。

答案

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详细解析： 将两集合合并，根据互异性原则，重复的 2 和 3 只写一次。 辅导逻辑： 考核并集基础概念。并集指所有属于 A 或 B 的元素集合，务必强调元素的互异性。

例 4

题目

判断关系： 是否正确？

答案

正确

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详细解析： 自然数集 是包含非负整数的，因此 属于自然数集。 辅导逻辑： 澄清概念混淆点。许多人会将 和 (正整数集) 记混，这是常见选择题陷阱。

例 12

题目

已知 ，，求 。

答案

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详细解析： 这是两直线的点集求交，等同于解二元一次方程组 。解出 。因元素的本质坐标对，外层不应遗弃大括号。 辅导逻辑： 点集的集合形式。着重批评部分学生写成 （一维错误）的顽疾。

例 14

题目

若集合 中只有一个元素，求 。

答案

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详细解析： 当 的时候方程无解，对应空集；只要 ，就是标准且具有单解的一次方程。 辅导逻辑： 这是后续解析数论里讨论二次方程一次化降维打击的雏形。

例 15

题目

中能被 2 整除的元素构成的子集？

答案

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详细解析： 能被 2 整除即为偶数，在基础数组里直接挑出筛选。 辅导逻辑： 了解条件约束筛选子集的基础手段。