1.6 反证法

核心讲义

反证法是一种间接证明逻辑，特别适用于正面推导极度困难的命题。

步骤

1. 反设：假设命题结论不成立（即假设结论的反面成立）。
2. 归谬：从反面假设出发，经过缜密推导，得出明显的矛盾（与已知条件、公理或定义相违背）。
3. 结论：因为推导出逻辑悖论点，故反证由于假设出错导致，从而否定假设，肯定原命题。

---

精选母题

例 23

题目

应用反证法证明核心特例命题： 是无理数。

答案

见详细解析

点击查看详细解析与辅导逻辑

详细解析：

1. 反设：假设命题不成立，即假设 不是无理数，而是有理数。
2. 归谬：既然是有理数，根据定义，它必可以表示成为一个既约分数 （这里 是正整数且二者互质）。 对方程两端直接平方法：。 上式证明了 必是偶数。那么其底数 本身必定也是偶数。于是我们可设 ( 为正整数)。 将其代入原式得到：。 这证明了 是偶数，即 也是偶数。 若 和 都是偶数，他们就会存在一个公约数 2，这矛盾于开局的前提条件 “ 二者互约互质”！
3. 结论：既然导致了公理层逻辑的绝大矛盾，原发假设彻底崩塌。故肯定原命题， 是无理数。 辅导逻辑： 反证法的黄金启蒙母题。以此揭示了什么叫做“无路可走时的退守反攻”。对唯一性或者不含等词特性的命题时常爆发奇效！