1.3 集合的运算

核心讲义

• 并集 (Union)：由所有属于 或属于 的元素组成的集合。
• 交集 (Intersection)：由所有既属于 又属于 的元素组成的集合。
• 补集 (Complement)：在全集 中，不属于 的元素组成的集合。
• 运算定律：
  • 交换律：,
  • 结合律：,
  • 分配律：,
  • 德·摩根定律 (De Morgan's Laws)： 配合记忆口诀：“长杠变短杠，符号变方向”。

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精选母题

例 2

题目

设 ，，求 。

答案

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详细解析： 分别在数轴上画出 和 的区间，寻找两者重合交叉的公共部分。左边界由于 不含等号，右边界 也不含等号。 辅导逻辑： 考核交集运用及数轴工具。必须让学生养成遇到不等式区间必画数轴的习惯。

例 3

题目

全集 ，集合 ，求 。

答案

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详细解析： 实数域 中去除了所有大于等于 2 的数，即剩余严格小于 2 的实数集。 辅导逻辑： 考核补集转化。重点提醒边界值的取舍关系，原来的带等号，其补集必然不带等号。

例 5

题目

已知 ，，若 ，求 的值。

答案

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详细解析： 由集合相等，1属于B，若 ，此时 违背互异性，舍去；则只能是 或 。分类推演并验算后可得 是唯一满足互异性与相平等的。 辅导逻辑： 互异性避坑第一题！教导学生“一遇参数、必检验互异”。

例 9

题目

若 ，，求 。

答案

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详细解析： 的限制条件是 ，即 。 表达的是值域限制也就是二次函数求极值 ，即 。取两者交集得 。 辅导逻辑： 代表元素错误绝佳错题记录！教会学生先看竖线前的字母是谁，再看竖线后的方程。

例 10

题目

化简 ，当 时。

答案

全集

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详细解析： 根据德·摩根定律 。因为 ，空集的补集即为全集 。 辅导逻辑： 训练德·摩根公式及长杠短杠变换，体会对称形式化简之美。

例 11

题目

设 ，。若 ，求 范围。

答案

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详细解析： 解 得 。两个区间要形成非空交集，右开区间的顶端 必须越过左开区间的底端 。 辅导逻辑： 再次强调画数轴的重要性，动态移动 轴以观察临界点的重叠。

例 16

题目

全集 ，，，求这能说明什么。

答案

集合 A 和 B 均须包含 ，且其余的 将被 A 和 B 二选一地彻底瓜分。

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详细解析： 交集表明两者共享 2 和 4。而并集占满 U，表明除了公共元素，其他的全是独占元素。 辅导逻辑： 借用集合运算推导配置方式。可以用来引申出包含不互斥的排布数学思维。

例 17

题目

已知 ，，若 ，求 。

答案

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详细解析： 中含有 2 和 3。因为交集仅含 3，所以 集合的区间覆盖必须囊括 3 而避开 2。即 且确保 （因为如果 则会把 2 也包进去）。 辅导逻辑： 极高频必考选填题！考核边界“取得到等号”和开闭区间的灵活判断。

例 18

题目

设 是全体实数，若对任意实数 ， 恒成立，转化为含有补集的高中数学语言怎么说？

答案

解集为 ，其等价于对应原条件不满足集合（错集）的补集为空 。

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详细解析： 恒成立问题代表事件穷举充满了整个实数域，也就反证了对立事件的空间完全为 0。 辅导逻辑： 引出后续函数恒成立向转化补集来逆向求参数最值的手段。